Разное / Наука /

Числа в исламском мире

Дата публикации: 06.01.10

Теория чисел в давние времена заинтересовала греков, которые стали изучать особенные виды  чисел (целые, чётные, квадраты и т.д.). Этот интерес продолжался до окончания античного периода. Евклид придумал "идеальные числа", которые являются суммой их целых делителей, как, к примеру 6=3+2+1, где 3,2 и 1 - делители. Таким образом, идеи об изучении чисел имеют долгую историю в древнем мире.
Арабские исследования в сфере математики начались с теории чисел. Им удалось внести  в это учение огромный вклад, основанный на более ранних математических традициях. Доказано, что первый основательный вклад в теорию чисел, особенно в то, что касается дружественных чисел - это заслуга арабских математиков.
Начало достижениям арабов в теории чисел положил математик Табит ибн Кура своей теоремой, описанной в его Книге дружественных чисел (китаб аль-адад аль-мутахаббат). Другие математики, такие, как Камаль Аль-Дин Аль-Фариси и Мухаммад Бакир Язди, достигли результата и внесли свой вклад в теорию чисел, используя теорему Табита.
Спустя несколько столетий преписываемых, как обычно, западным математикам-было доказано, что изучение теории чисел,сформировало постоянную традицию и привело к открытию теорем и задач. К примеру, появление теоремы Вилсона в работе Ибн Аль-Хайтама, задачи Бахета о массах - у Аль-Хазини,или сложение четвёртых степеней целых чисел 1,2,+,n в работе математика Х века Абу Сакра Аль-Кабиси. Ибн Сина (известный в Европе, как Авиценна), будучи широко известным своими трудами в медицине, также имел работы в теории чисел.

 Арабские труды по теории чисел.
Начнём с Ибн Сины и некоторых из его трудов в теории чисел. Одна из его основных работ, названная "Алаи" по-персидски и "Китаб Аль-Шифа" по-арабски (Канон врачебной науки), содержала разделы по арифметике. Он начал обсуждение различных видов чисел (чётных, нечётных, неполных, идеальных и превосходных), основав его на греческих и индийских источниках, и разъяснил различные арифметические действия, включая правило "отбрасывания девяток".
 Примеры из этого труда приводятся в разъяснениях:
 6 - это идеальное число, т.к. сумма его целых делителей составляет 1+2+3=6
8 - неполное число, т.к. сумма его целых делителей составляет 1+2+4<8
12 - превосходное число, т.к. сумма его целых делителей составляет 1+2+3+4+6>12.

 Правило отбрасывания девяток.

Сумма цифр любого натурального числа равна остатку при делении самого этого числа на 9.

К примеру:
 1. сложим цифры числа 436, получим 13, складываем до 4 (1+3) - остаток при делении числа на 9;
 2. сложим цифры числа 659, получим 20, складываем до 2 (2+0) - остаток при делении числа на 9;
 3. произведение двух чисел 436 и 659 равно 287324, складываем цифры до 26 (2+8+7+3+2+4), далее до 8 (2+6) - остаток при делении числа на 9.
 Таким образом, отбрасывание девяток оставляет остаток 4, 2 и 8 соответственно и так, как произведение первых двух остатков 4х2=8, приведённое умножение возможно верно.
 
 Ибн Сина сформировал два правила.

 Если последовательные числа поместить в квадратную таблицу, сумма чисел по диагонали будет равна сумме чисел стороны, возведённой в куб; сумма всех чисел в квадрате будет равна сумме чисел стороны, возведённой в четвёртую степень. На рисунке 1 показан квадрат из нечётных чисел:
 
9 7 5 3 1

19 17 15 13 11
29 27 25 23 21
 39 37 35 33 31
49 47 45 43 41
 
Рисунок 1. Иллюстрация 1-правила Ибн Сины. Диагональ квадрата при сложении равна 9+17+25+33+41 = 125 = 1+13+25+37+49, что равно кубу стороны 53.
Рисунок 1. показывает правило   1 Ибн Сины: диагональ квадрата складывается до 9+17+25+33+41 = 125 = 1+13+25+37+49,
Это равно кубу стороны - 53. общая сумма квадрата составляет 625 = 54; четвёртая степень стороны.
 Ибн Сина знал, что сумма последовательных нечётных чисел, начинающихся с 1, равна квадрату количества сложенных нечётных чисел. Например:
 1+3+5+7+9+11=36, что составляет 62 (где 6 - количество нечётных чисел.
Второе правило Ибн Сины предназначено для суммирования треугольного порядка нечётных чисел. Если последовательные нечётные числа поместить в треугольник, то сумма чисел одного ряда, равна кубу числа (ряда).
Треугольный порядок нечётных чисел от 1 до 30 показан на рисунке 2. сумма чисел в, скажем, четвёртом ряду составляет 64 = (13+15+17+19), что равно 43 (куб 4 ряда).
 1
 5 3
 11 9 7
 19 17 15 13
 29 27 25 23 21
 Рисунок 2 показывает 2-правило Ибн Сины.
Теперь узнаем больше о теории чисел от первого арабского математика Табита Ибн Курра, внесшего в неё огромный вклад. Основываемся на том факте, что: пара натуральных чисел M и N определена как дружественные числа, если каждое из них равно сумме целых делителей другого. Табит основывал свою формулу для извлечения пар дружественных чисел, как приведено ниже:
Пусть даны отдельные простые числа p, q и r, где n больше 1, тогда M и N будут парой дружественных чисел, как:
Для n = 2,
 
 Теперь p, q и r - простые числа, which is the smallest pair of amicable numbers.
 Заметно, что целые делители 220 - это: 1,2,4,5,10,11,20,22,44, 55, 110. Их сумма составляет 284. Точно так же, целые делители 284 - это: 1, 2, 4, 71, 142, сумма которых составляет 220.

 Исследование Hagendijk 1980 показывает, что Табит доказал свою теорему, применительно к   ситуации, когда значение n = 7. Это показатель того, что Табит был знаком с парой дружественных чисел 17,296 и 18,416 (дружественные числа, произведённые для n=4).
 Было показано, что другие математики добились своих результатов, используя теорему Табита. Один из них - математик Камаль Аль-Дин Фариси, в XIII веке определивший два дружественных числа (17,296 и 18,416, когда n = 4 по теореме Табита).
 Позднее, в начале XVII века его соотечественник Мухаммад Бакир Язди определил два дружественных числа 9,363 и 9,437,056, когда n = 7 по теореме Табита.

 Открытие двух пар дружественных чисел (17,296 и 18,416; 9,363,584 и 9,437,056) обычно приписывается Фермату и Декарту. Но сейчас было показано, что пара Фермата, была высчитана более ранним арабским математиком Ибн Аль-Банной (1256-1321). Факт в том, что она была определена арабским математиком ещё столетием ранее и стала впоследствии известна многим математикам, как это было и в случае "пары Декарта". Это утверждение может быть понято при учёте тех средств, что применялись для вычисления дружественных чисел. Эти средства и показывают, кто что начал.
 В этой ситуации для наглядности мы можем вернуться к труду Аль-Фариси, посвящённому дружественным числам. Будучи не удовлетворённым простым предоставлением расчётов "пары Фермата", Аль-Фариси обосновал полноценное их подтверждение. Он начал с n=4, далее из формулы Табита получил: очевидно, что первые два числа простые. Он использовал несколько утверждений, дабы показать, что 1151 является простым числом. Чтобы доказать, что "пара Фермата" на самом деле является парой дружественных чисел, Аль-Фариси развивал:
 Сначала выводим определения
 Для натуральных чисел - сумма его целых (кроме n) делителей. Учитывая все возможные целые делители числа 2kI, где I - простое число или продукт простых чисел, можно заметить, что сумма всех возможных делителей 2kI равна:

 Может быть последующими шагами переписано в вычисление меньшими числами.
 
 Эта формула была использована Аль-Фариси для подтверждения пары дружественных чисел (17,296 и 18,416), = 15(71+1081) + 16(71) = 18416, = 15(1+1151) +16(1) = 17296,

 Эти труды по теории чисел, являющиеся огромным вкладом арабских математиков в саму науку, показывают, что арабы были пионерами как в теории чисел, так и в других сферах математики.


 1- F.J. Swetz: From Five Fingers to Infinity; Open Court; Chicago; 1994; pp. 289-92.
 2- G.G. Joseph: The Crest of the Peacock; Penguin Books; 1991.
 3- J.L. Berggren: History of Mathematics in The Islamic World: The Present State of The Art. Middle East Studies Association Bulletin 19 (1985), pp. 9-33.
 4- R. Rashed: The Development of Arabic Mathematics: between arithmetic and algebra. Dordrecht: Kluwer. 1994.
 by: FSTC Limited, Wed 14 September, 2005

Теги
 

  Комментарии   

# PhyllisGulge
2017-01-21 11:27 wh0cd781103 glucophage order avodart drug abilify acomplia 20mg rimonabant
# PhyllisGulge
2017-03-01 09:19 wh0cd781103 cialis
# CharlesDup
2017-07-16 21:26 wh0cd440488 Lasix No Prescription

Имя:

Текст сообщения:

Защитный код
Обновить

57.6527
-0.5715
69.0737
-0.1898

Как вы думаете, кому выгодна дестабилизация в Йемене?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Баннер